לאורך ההיסטוריה, לבני אדם תמיד היה צורך לספור, לבטא פעולות מסחריות ולפתור בעיות אחרות שהתעוררו בפיתוח המתמטיקה. ננתח את האבולוציה של הקבוצות השונות, באופן שכל אחד מהם נכלל בבא. עם זאת, ההתפתחות של מספרים אלה עשויה להתאים בזמן. המספרים הטבעיים:
באמצעות טכניקות ספירה אנו מתכוונים לכל אלגוריתם המשמש לספירה, כלומר למצוא את הקרדינל של קבוצה. בתוך טכניקות הספירה, מגיעה קומבינטוריקה לטיפול מיוחד: וריאציות, תמורות ושילובים; למרות שלא נעסוק בזה בנושא זה מכיוון שהם כבר טופלו בעבר. בפוסט הזה אנחנו הולכים ללמוד בעיקר שני סוגים של בעיות וכמה מהטכניקות הנפוצות ביותר לפתור אותן:
בפוסט הזה אנחנו הולכים ללמוד את אחד היישומים החשובים ביותר של נגזרות: משוואת הישר המשיק והישר הנורמלי; כמו גם היישומים השונים שאנו יכולים למצוא. נתחיל בהסתכלות על הפרשנות של הנגזרת, ולאחר מכן את שלושת סוגי התרגילים שאנו יכולים למצוא: פירוש גיאומטרי של הנגזרת:
INTRODUCTION ז'ול אנרי פואנקרה היה מתמטיקאי צרפתי בן המאה ה-19 שהתבלט לא רק בעבודתו המתמטית אלא גם בעבודתו כפיזיקאי, מדען תיאורטי ופילוסוף. בין העבודות החשובות ביותר שלו בפיזיקה, בולטות אלה הקשורות לתיאוריית האור והגלים האלקטרומגנטיים. בכל הנוגע למתמטיקה, הוא בלט בעבודותיו המתמטיות בתחום הטופולוגיה (ענף במתמטיקה העוסק בחקר התכונות של גופים גיאומטריים הנשארים קבועים כאשר מוחלים טרנספורמציות רציפות, הדוגמה הנפוצה ביותר היא זו של כוס וסופגנייה, שני הדברים זהים מבחינה טופולוג
היום אנחנו הולכים ללמוד תכונה נוספת של פונקציות (ו/או סדרות כפי שנראה בהמשך). נלמד תחילה כאשר נגיד שפונקציה מוגבלת למעלה ומתי היא מוגבלת למטה, כדי לבסוף להיות מסוגלים לקבוע מתי פונקציה מוגבלת. UPPER BOUNDED FUNCTION הגדרה: אנו אומרים שפונקציה היא תחומה מעל אם קיים ערך K כך שלא יחרוג ממנו בשום ערך של הפונקציה, כלומר:
בשל העובדה שהמספרים הטבעיים הם אינסופיים, יש צורך לחפש קבוצה של מילים, סמלים וכללים המאפשרים לנו לקבוע את המספרים הטבעיים ולהיפך; תוך כדי יכולת לעבוד איתם. בפוסט הזה אנחנו הולכים להגדיר את מערכות המספור, המאפיינים שלהן וכמה מהנפוצות ביותר, כמו זו שבה אנו משתמשים:
היום אנחנו הולכים לעבוד עם תרגיל משעשע שניתן לעשות בכל הרמות על ידי שינוי המורכבות שלו: ריבועי הקסם. ריבועים הקסומים הם טבלאות, או טוב יותר לומר, רשתות עם מספרים שלמים באופן שסכום הדמויות של השורות והעמודות, כמו גם הסכום של האלכסון הראשי הוא תמיד אותה כמות, הנקרא קבוע הקסם.
השפה האלגברית היא דרך לתרגם לסמלים ולמספרים את מה שאנו רואים בדרך כלל כביטויים מסוימים. בדרך זו, ניתן לתמרן כמויות לא ידועות באמצעות סמלים קלים לכתיבה, מה שמאפשר לפשט משפטים , ניסוח משוואות ומשוואות וללמוד כיצד ניתן לפתור אותם. שפה זו עוזרת לנו לפתור בעיות מתמטיות על ידי הצגת כלליות.
אתמול עשינו מחקר על גופים גיאומטריים. היום אנחנו הולכים להמשיך את המחקר הזה, אבל במקרה הזה של כמה גופים גיאומטריים מיוחדים, גופים עגולים. גופים עגולים הם דמויות גיאומטריות שיש להן לפחות אחד מהפנים המעוקלים שלהן. הם ידועים גם בשם גופי מהפכה שכן כולם מתקבלים על ידי סיבוב דמות סביב ציר.
אנחנו כבר יודעים לעשות מחקר של משתנה אקראי בהתאם לסוג המדובר, ראינו איך עושים את טבלת התדירות ואיך מחשבים את מדדי המיקום והפיזור. היום אנחנו הולכים להתמקד בדרכים השונות שיש לנו לייצג את הנתונים שנאספו בטבלאות התדירות, אשר יהיו תלויות בסוג המשתנה איתו אנו עובדים.
שבר או שבור הוא החלוקה של משהו לחלקים. אם ניקח את השבר 2/4 כדוגמה, הוא נקרא כשני רביעיות, ומה שהוא עושה זה לציין שני חלקים על פני ארבעת החלקים הכוללים. אנו יכולים לראות אם כן שמה שנותן לשבר הזה את שמו הוא המספר שמתחתיו אנו קוראים למכנה שכן אנו "
בתחום המתמטיקה, שבר או שבר הוא חלוקה של משהו לחלקים. אם ניקח את השבר ¾ כדוגמה, הוא נקרא כשלושת רבעים, ומה שהוא עושה זה לציין שלושה חלקים על פני ארבעה סכומים. כאן אנו יכולים לראות שמה שנותן לשבר הזה את שמו הוא המספר התחתון שאנו קוראים לו המכנה שכן אנו קוראים לשבר "
אחרי קיץ ארוך מאוד, יש צורך לחזור לשגרה. אנו מסתכלים אחורה למתמטיקה וכיום עלינו ללמוד את המאפיינים של גופים גיאומטריים, כלומר מספר הפנים, הקודקודים, צירי הסימטריה וכו'. נתחיל קודם בקובייה: CUBE: 2. סוג דמות: פולידרון רגיל. 3. פרצופים:
על ידי ניתוח קומבינטורי, אנו מתייחסים לאותו חלק באלגברה העוסק בחקר הקבוצות שנוצרות עם אלמנטים נתונים, השונים זה מזה, לפי מספר האלמנטים המשולבים בכל קבוצה, לפי סוג הרכיבים ולפי סדר המיקום שלהם. מספר האלמנטים הזמינים ליצירת הקבוצות השונות נקרא הבסיס, בעוד שמספר האלמנטים המעורבים בכל קבוצה נקרא הסדר.
כפי שאנו כבר יודעים, קומבינטוריקה היא החלק באלגברה העוסק בחקר הקבוצות שניתן ליצור עם יסודות מסוימים, תוך הבחנה ביניהן את מספר היסודות, סוגם וסדרם. הקבוצות שנוצרות יכולות להיות וריאציות, תמורות או שילובים. האחרונים יהיו אלה שנלמד במאמר זה. לפני שניכנס לנושא, נוכל לתת דוגמה פשוטה, שתיתן לנו ראייה ברורה יותר של מה זה שילובים ותעזור לנו להבין טוב יותר.
קרינה מוגדרת כפעולה הפוכה של התעצמות. כוח הוא ביטוי מתמטי הכולל שני מונחים בעלי שם: בסיס a ומעריך n. זה כתוב כך: נקרא כמו, "העלה ל-n" כדי להבין טוב יותר את ההגדרה של התיישבות, נניח שניתן לנו מספר a ונבקש לחשב אחר, כזה שכפול בעצמו מספר b של פעמים נותן לנו את המספר a.
קומבינטוריקה הוא ענף במתמטיקה העוסק בחקר קבוצות סופיות של עצמים העומדים בקריטריונים ספציפיים ואשר עוסק במיוחד בספירת העצמים בקבוצות כאלה. במילים אחרות, זהו חלק מהאלגברה שאחראי לחקור את הקבוצות שנוצרות, להבחין ביניהן את מספר היסודות המרכיבים כל קבוצה, סוג היסודות הללו וסדרם.
לאחר שנאספו הנתונים לדוגמה שאנו הולכים ללמוד, יש צורך לקבץ אותם על ידי הזמנתם בצורה של טבלה, טבלה זו נקראת תפלגות תדירות אוטבלת תדירות. בחלק זה נתמקד בטבלאות תדירות עבור משתנים אקראיים חד-ממדיים (נלמד משתנים אקראיים דו-ממדיים מאוחר יותר).
נקרא ל- פעולות משולבות לאלו שבהן נראה שמספר פעולות אריתמטיות נפתרות. כדי להשיג תוצאה נכונה, יש צורך לעקוב אחר כמה כללים ולקחת בחשבון את העדיפות בין הפעולות. מלכתחילה, יש להפריד בין המונחים הנוכחיים על מנת שניתן יהיה לפתור כל אחד מאלה מאוחר יותר.
DEFINITION תן f להיות פונקציה רציפה המוגדרת בתחום A, נגזרת הפונקציה של f מוגדרת בנקודה a של קבוצת A ומסומנת ב-f´(a), כאשר ערך הגבלה הבא: אם נקרא ל-h=x-a, נוכל גם לכתוב את ההגדרה כך: אם לאחר שחושבה פונקציית הנגזרת, אפשר לגזור אותה שוב, פונקציה זו נקראת נגזרת שנייה והיא מסומנת ב-f´´.
הזהויות הטריגונומטריות הן שוויון המערב פונקציות טריגונומטריות. זהויות אלו תמיד שימושיות כאשר אנו צריכים לפשט ביטויים הכוללים פונקציות טריגונומטריות, כל הערכים שיוקצו לזוויות עבורן מוגדרים היחסים הללו. זהויות טריגונומטריות מאפשרות לנו לנסח את אותו ביטוי בדרכים שונות.
כדי לבצע מחקר סטטיסטי של מאפיין שאנו רוצים לחקור באוכלוסייה מסוימת, יש צורך לנתח מדגם של האוכלוסייה האמורה ממנו נוכל לקבל מספרים ספציפיים המאפשרים לנו לנתח את הנאספים נתונים. לשם כך נשתמש בטבלת התדרים שעלינו להכין מראש. אנו מבחינים בשלושה סוגים של פרמטרים סטטיסטיים:
אנחנו הולכים ללמוד מושג חדש של ניתוח מתמטי: פונקציה מורכבת. פונקציה מורכבת היא פונקציה שנוצרת מהרכבן של שתי פונקציות, כלומר הפונקציה הנובעת מהחלת פונקציה על x תחילה ולאחר מכן החלת פונקציה חדשה על תוצאה זו. הדרך שבה אנו מציינים את הפונקציה המרוכבת היא עיגול קטן בין שתי הפונקציות או g(f(x)), כלומר, הפונקציה f מוחלת תחילה, והפונקציה g מוחלת על התוצאה.
במאמר של היום אנחנו חוזרים לענף של סטטיסטיקה כדי לדבר על אחת ההתפלגויות הבדידות החשובות ביותר: התפלגות Poisson. התפלגות זו משמשת במצבים שבהם אתה רוצה לקבוע את מספר האירועים מסוג מסוים המתרחשים במרחב או במרווח זמן נתון. הפצה זו נובעת למתמטיקאי ופיזיקאי צרפתי מהמאה ה-19, סימאון-דני פויסון, שפרסם לראשונה את מחקריו על הפואסון בעבודתו "
אנחנו הולכים ללמוד היום את אחת משלוש הבעיות המפורסמות ביותר של העת העתיקה: ריבוע המעגל,למעשה זה נחשב לבעיה בלתי אפשרית, ובסוף של המאה ה-19 המתמטיקאי פרדיננד לינדמן הראה שהבעיה בלתי ניתנת לפתרון בשל האופי הטרנסצנדנטי של המספר pi. ביוון העתיקה, בסביבות המאה ה-5 לפני הספירה, הוצעו לפתור שורה של בעיות גיאומטריות על ידי טכניקות גיאומטריות גרידא באמצעות סרגל ומצפן.
במאמר של היום אנחנו הולכים ללמוד את הייצוג של פונקציות ריבועיות , כלומר, משוואות המעלה השנייה. בהתחשב בכך שהגרפים של משוואות המדרגה השנייה תואמים ל-פרבולות, בפוסט זה, אנו הולכים ללמוד את המרכיבים האופייניים של אלה. PERFORMANCE נתחיל עם השלבים הראשונים שאנו הולכים לקחת בחשבון לביצוע ייצוג של פונקציה ריבועית, שכידוע לנו היא בצורה:
לאחר שראינו את המיקומים היחסיים של שני מעגלים, היום אנחנו הולכים ללמוד את זוויות המעגל. זווית מרכזית: זו הזוית שקודקודה נמצא במרכז ההיקף, כלומר זווית שנקבעת על ידי שתי קרניים שמקורן במרכז, ולכן הם רדיוסי ההיקף. הנקודות המתאימות למעגל המכוסה על ידי הזווית המרכזית נקראות המגזר המעגלי התואם לזווית האמורה.
לא הכל במתמטיקה זה מספרים, משפטים, הוכחות, חישובים… ועוד הרבה דברים של אינסוף דברים שנשמעים משעממים באותה מידה (למרות שבשבילי הם לא). היום אנחנו הולכים לגלות את הצד הספרותי של מתמטיקאי פרסי דגול שנולד במאה ה-11: Omar Jayyam. עומר כיאם היה מתמטיקאי, אסטרונום ופיזיקאי שנולד בסביבות שנת 1017 ומת ב-1123, אך עבודותיו לא היו ידועות במערב עד המאה ה-18.
לאחר שראינו את השיטות הקיימות כדי להיות מסוגלים לפתור מערכות של משוואות ליניאריות, נלמד גם איך לפתור חלק מהמערכות הלא-לינאריות באמצעות שיטות אלו. חשוב מאוד לבחור בשיטה הנכונה, אחרת הרזולוציה שלה עלולה להיות מאוד כבדה, קשה ולכן קלה לטעות. אנו קוראים למערכת לא ליניארית מערכת של משוואות שבה אחת מהמשוואות המרכיבות את המערכת או שתיהן היא משוואה לא ליניארית, כלומר, כאשר חלק מהלא ידועים שהם חלק מהמשוואה אינם הראשונים כיתה.
בהזדמנויות קודמות למדנו כמה מהמאפיינים של המעגל, כמו נקודות המגע, כלומר המיקום היחסי של מעגל וקו. אבל עכשיו הגיע הזמן ללמוד יותר על הגיאומטריה של המעגל. כדי להתחיל נראה כמה הגדרות פורמליות קודמות: DEFINITIONS אנחנו קוראים ל- circumference של center O ו-radius r לקבוצת הנקודות ב- מישור במרחק שווה מנקודה O מרחק שווה לקטע r.
אנחנו הולכים ללמוד היום את השיטות השונות לפתרון מערכות של משוואות ליניאריות עם שני לא ידועים. מערכות של משוואות לינאריות הן מהצורה: כאשר a, b, c, a´, b´and c´הם מספרים ממשיים. כדי לפתור סוג זה של מערכת משוואות, כלומר, מצא את הערך של x ו-y העומדים בשתי המשוואות;
לאחר שראינו את הפונקציה המרוכבת, נלמד גם את הפונקציה ההפוכה. מאחר והזכרנו זאת בעבר במאפייני הפונקציות המורכבות. בהזדמנות זו, נלמד את התהליך להשגת הפונקציה ההפוכה, וכן נראה כמה מהדוגמאות החשובות ביותר לפונקציות הפוכות וכיצד הן מיוצגות. DEFINITION:
המתמטיקאי הראשי שנחשב לקודמו של תורת הקבוצות הוא ג'ורג' קנטור, מתמטיקאי גרמני שחי בין 1845 ל-1918. תורת הקבוצות היא ענף במתמטיקה שכפי ששמו מרמז, חוקר תכונות של קבוצות. סט, לפי דבריו של קנטור, הוא אוסף של חפצים שנקבעים ומובחנים בבירור הן בהתבוננות בהם והן בחשיבה שלנו, אוסף החפצים הזה מהווה שלם.
אנחנו הולכים לחפור קצת יותר לעומק בתורת המספרים, ומציגים מושג חדש שבמקביל מוכר היטב לכולם: המספרים הראשוניים. אנחנו לא יודעים בוודאות את השנה המדויקת שבה הופיעו המספרים הראשוניים, אבל לפני יותר מ-20,000 שנה (מה שנאמר בקרוב) נראה שהם עבדו איתם או לפחות הכירו אותם, בשל סימנים שנמצאו בעצם.
אנחנו ממשיכים לעבוד על תורת המספרים, היום הגיע תורן של המשוואות הדיופנטיות , שכפי שמרמז שמם, נובעות מ דיופנטוס, מתמטיקאי יווני עתיק שלעבודתו הייתה חשיבות רבה והשפעה על הדורות הבאים. הבעיות בהן טיפל דיופנטוס עסקו בהיבטים מספריים בלבד שבהם מתערבות תכונות המספרים השלמים.
כפי שהזכרנו במאמרים קודמים, אחד היישומים החשובים ביותר במתמטיקה הוא פתרון בעיות אופטימיזציה. אבל למה אנחנו מתכוונים בבעיות אופטימיזציה? איך נוכל לפתור אותם? אל תדאג, כי אלה ואחרים מהחששות שלך ייפתרו אם תמשיך לקרוא. DEFINITION בעיות האופטימיזציה הן אלו שעוסקות בבחירת ההחלטה האופטימלית של בעיה, כלומר, למצוא מהו המקסימום או המינימום של קריטריון נתון (פונקציה) נושא לכמה תנאים שנותנים לנו את הבעיה.
כבר עבדנו מספר רב של פעמים עם מטריצות ולמעשה, דיברנו גם על דרגת מטריצה; אבל למה אנחנו מתכוונים בדירוג של מטריצה? ואיך אפשר לחשב את זה? אלו השאלות שאנו הולכים לענות עליהן בפוסט הזה. נתחיל בתחילה במתן ההגדרה, ולאחר מכן נסתכל על שתי שיטות למציאת הדרגה של מטריצה:
תכנות ליניארי היא שיטה לפתרון בעיות אופטימיזציה הכפופות לסדרה של תנאים או הגבלות, הניתנות מסדרה של אי-שוויון. כדי לבצע פתרון של בעיה מסוג זה, יש צורך לייצג את ההגבלות הללו במטוס, מה שיוליד את האזור האפשרי , כלומר, האזור שבו יימצא הפתרון ל-פונקציית האובייקטיב שלנו, שהיא הפונקציה שעלינו למקסם או למזער בהתאם.
אחד המאפיינים החשובים ביותר בעת ביצוע הייצוג הגרפי של פונקציה הוא ללמוד את המונוטוניות שלה, כלומר היכן הפונקציה שלנו גדלה ויורדת. כמו גם קביעת המקסימום ו/או המינימום במקרה שהיו לו. כמו כן, אם עדיין יש לנו ספקות לגבי הייצוג, נוכל גם ללמוד את נקודות העקמומיות וההטיה שלו.
Thales of Miletus (630 לפנה"ס - 545 לפנה"ס) היה אחד הפילוסופים היוונים המפורסמים ביותר, אבל לא רק בולט בכך, אלא כמו כל החכמים של זה זמן, בלט גם כמדען ומתמטיקאי, שם תרומותיו לגיאומטריה חשובות מאוד, ואחת מהתרומות הללו היא זו שבה אנו הולכים להתמקד, הידוע "